Matematikk er en underlig, fantastisk og krevende øvelse, introvert og mest opptatt av seg selv. Men i ytterkanten av matematikken kobles virkeligheta på, og man kan bruke noe så abstrakt som det imaginære tallet i til å få bru over Tromsøysundet, skriver UiT-forsker Kajsa Møllersen. Brufoto: Yngve Olsen

Et abstrakt system som kan bygge bruer

Body bilder: 
FIGUR 1: Matematikk presenteres ofte som formler med bokstaver og symboler, slik som denne (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2. Denne formelen kan tegnes som en sirkel på den to-dimensjonale flata.
FIGUR 2: Hvis man tenker seg de tre dimensjonene som det konkrete rommet rundt oss med lengde, bredde og dybde, kan figuren som kalles en sfære, tegnes slik.
FIGUR 3: Ved å brette en sirkel etter et bestemt system av imaginære tall får man en Julia-mengde, som dette.

Når du kjører over Tromsøbrua, med visshet om at brua tåler både deg og dine medtrafikanter, så ligger det solid byggearbeid og stor ingeniørkunst bak. Stålkonstruksjonen og betongelementene er det som lar tusenvis av mennesker ta turen tørrskodd over Tromsøysundet hver dag, men lenge før byggearbeidet blei satt i gang eksisterte brua som tegninger på papir. På papiret beregnes bæreevnen – man bygger ikke bru ved prøving og feiling – og selv om det endelige resultatet er handfast stål og betong, så er de matematiske beregningene helt abstrakte.

Matematikk er et abstrakt system av abstrakte systemer, men matematikkens fortreffelighet ligger i at den brukes til helt konkrete ting. Matematikk har fått stor plass i vitenskap og forskning – fra den reine matematikken som utvikles uten tanke på konkret bruk, til der matematikk møter virkelighet, der det abstrakte passer inn i det konkrete. Tidligere var det meste av matematikk tett knytta opp til konkrete oppgaver, som regnskapsføring og folketelling. Det romerske imperiet drev utstrakt skatteinnkreving og førte nøye regnskap med både folk og fe, sirlig nedtegnet med romerske tall. Få ting er så konkret som ei ku, og hvis kua ikke var der, og verken kunne telles eller skattlegges, fikk den heller ingen plass, verken i regnskapet eller i matematikken: De romerske tallene har ikke noe symbol for null. 

Tallet 0, ingenting, det minst konkrete av alt, var gjenstand for uendelige diskusjoner blant matematikere og filosofer, mens skatteinnkrevere klarte seg helt fint uten. Diskusjoner omkring eksistensen av ingenting som bevis for eller mot gud og avstanden mellom 0 og 1, fortsatte i flere århundrer. Tallet 0 er i dag en helt selvfølgelig del av regnskapsføring og handel, og har hatt enorm betydning for matematikkens utvikling og praktiske betydning. Det kan være vanskelig å skjønne i dag hvor abstrakt og teoretisk dette tallet egentlig er.  Et annet tall som har hatt stor betydning er det imaginære tallet i, som ganget med seg selv blir minus én, altså i× i = -1. Dette tallet finnes ikke på den vanlige tallinja, det ligger verken til høyre eller venstre for 0, og er kanskje like mystisk for mange i dag som 0 var for noen hundre år siden. Likevel har det stor praktisk nytte, for eksempel hvis man skal beregne bæreevnen til ei bru. Romerske soldater marsjerte aldri i takt over ei bru, fordi de visste at selv om brua tåler flere hundre mennesker kan den kollapse av taktfast marsj. Marsjerende soldater kan sette i gang og forsterke små svingninger som etterhvert blir større og større, og brua kan kollapse. Slike svingninger kan også settes i gang av bølger, vind og vær. Tallet i egner seg spesielt godt til å beregne svingninger, og dermed bæreevne, og du kommer ikke utenom hvis du skal bygge ei bru i dag. Selv om romerne både bygde og gikk over bruer uten kjennskap til tallet i, så husk at de også førte regnskap uten tallet 0.

For å bruke matematikk må man forstå den, og for å klare dette kan man hjelpe seg selv litt på vei med figurer og tegninger. Matematikk presenteres ofte som formler med bokstaver og symboler, slik som denne (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2. Denne formelen kan tegnes som figur 1 (se bildet). Altså, som en sirkel på den to-dimensjonale flata.

For det tre-dimensjonale rommet er det en tilsvarende enkel formel. Hvis man tenker seg de tre dimensjonene som det konkrete rommet rundt oss med lengde, bredde og dybde, kan figuren som kalles en sfære, tegnes som figur 2. Denne figuren eksisterer også i fire dimensjoner, i fem dimensjoner, i så mange dimensjoner du vil. Da kalles den en hypersfære, og har fremdeles en veldig enkel matematisk formel, men er verre å tegne. I matematikken er ikke de tre første dimensjonene det konkrete rommet rundt oss – alt er like abstrakt, men noe er vanskeligere å tegne. For å trenge inn i matematikken, må man ta steget ut i det abstrakte, og klare å forestille seg en hypersfære i fire eller flere dimensjoner, men også vite at en sirkel er akkurat like abstrakt.

Matematikk er full av abstrakte systemer og kombinasjoner. Noen er veldig nyttige, andre veldig vakre. Ved å brette en sirkel etter et bestemt system av imaginære tall får man en Julia-mengde, slik som på bildet i figur 3.

Du kan ikke lære å fly ved å springe veldig fort, men litt rennefart må man ha for å lette. Det er oppe i lufta det imaginære tallet i, Julia-mengder og tallet 0 er. Tegninger og figurer gir rennefart, men matematikken er et annet sted.

Matematikk er en underlig, fantastisk og krevende øvelse, introvert og mest opptatt av seg selv. Men i ytterkanten av matematikken kobles virkeligheta på, og man kan bruke noe så abstrakt som det imaginære tallet i til å få bru over Tromsøysundet.

  • Hør mer om forskningen ved UiT Norges arktiske universitet i podcast-serien «Observatoriet» som du finner på uit.no/50/50-forskere, på iTunes eller andre podcast-apper.

Lik Nordnorsk Debatt på Facebook

Annonse
Nordlys overvåker denne debatten kontinuerlig mellom kl. 07 og 24. Kommentarfeltet er nå stengt og åpner igjen kl. 07.00. Velkommen tilbake da!
Annonse